Przejdź do zawartości

Silnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wybrane wartości silni
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 ∼1,551 121 004 · 1025
50 ~3,041 409 32 · 1064
70 ~1,197 857 167 · 10100
100 ~9,332 621 544 · 10157
450 ~1,733 368 733 · 101000
1000 ~4,023 872 601 · 102567
10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659
100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100 ~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedzinąliczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

Wartość 0! określa się osobno[2]:

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie

[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), nastąpi ono już dla

n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Przybliżona wartość

[edytuj | edytuj kod]

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

Przydatne jest również oszacowanie:

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

gdzie:

Właściwości

[edytuj | edytuj kod]

Wzrost

[edytuj | edytuj kod]
Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki)[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:

to

tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:

gdzie oznacza część całkowitą liczby

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

[edytuj | edytuj kod]

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

gdzie musi spełniać warunek

Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

zerami.

Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

  • analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać
  • geometria -wymiarowa, np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy
  • kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa

Powiązane ciągi i inne funkcje

[edytuj | edytuj kod]
Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion

[edytuj | edytuj kod]

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].

Funkcja gamma

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

Ponieważ więc z powyższego wynika

dla wszystkich liczb naturalnych

Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna

[edytuj | edytuj kod]

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

Silnia podwójna

[edytuj | edytuj kod]

Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

Przykład:

Własności podwójnej silni:

zależność od funkcji gamma:

więc:

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21].
  2. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
  3. Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
  4. Eric W. Weisstein, Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
pFad - Phonifier reborn

Pfad - The Proxy pFad of © 2024 Garber Painting. All rights reserved.

Note: This service is not intended for secure transactions such as banking, social media, email, or purchasing. Use at your own risk. We assume no liability whatsoever for broken pages.


Alternative Proxies:

Alternative Proxy

pFad Proxy

pFad v3 Proxy

pFad v4 Proxy