Podciąg (matematyka)

Podciąg – ciąg powstały poprzez wybranie pewnej liczby (być może nieskończonej) wyrazów ciągu wyjściowego. Odpowiednikiem podciągów dla ciągów uogólnionych są subtelniejsze ciągi uogólnione.

Ważnym twierdzeniem dotyczącym podciągów jest twierdzenie Bolzana-Weierstrassa, którego konsekwencją jest (ciągowa) zwartość ograniczonych i domkniętych podzbiorów prostej rzeczywistej.

Definicja

Niech $(a_{i})_{i\in I}$ będzie ciągiem elementów zbioru $X$ oraz niech $(k_{i})_{i\in I}$ będzie silnie rosnącym ciągiem w zbiorze indeksowym $I$ (będącym dowolnym podzbiorem liczb naturalnych, zwykle przyjmuje się, że $I$ zawiera kolejne liczby naturalne). Wówczas ciąg $(a_{k_{i}})_{i\in I}$ nazywa się podciągiem ciągu $(a_{i})_{i\in I}.$

Przykład

Ciąg $ABD$ jest podciągiem $ABCDEFG.$