Grupa bijekcji

Grupa bijekcji, grupa symetryczna – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Nazwa grupa symetryczna może mieć węższe znaczenie – oznaczać grupę permutacji, czyli bijekcji zbiorów skończonych. Grupy bijekcji zbioru $X$ oznaczane są często. $\mathrm {S} (X),$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. $\mathrm {Bij} (X)$, $\mathrm {Sym} (X),$ czy $\Sigma _{X}.$

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru $X$ wynosi $|X|!;$ w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako $|X|!=2^{|X|}$ (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Przykłady

• Jeśli $X=\varnothing$ jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, $\varnothing \to \varnothing$ (bijekcji pustej).
• Gdy $X=\mathbb {N}$ jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż $2^{\mathbb {N} }={\mathfrak {c}}.$

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983. ISBN 83-01-03903-5.
• Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.

Linki zewnętrzne

• Symmetric group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05].
• symmetric group (ang.), nLab, ncatlab.org [dostęp 2024-09-05].