Hermitovská transpozice

Matice hemitovsky sdružená ke komplexní matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ je matice typu $n\times m$ získaná transpozicí ${\boldsymbol {A}}$ a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$, ${\boldsymbol {A}}^{*}$ nebo ${\boldsymbol {A}}'$, a ve fyzice často ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }$. Nazývá se také hemitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$.

Definice

Hermitovská transpozice matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ je formálně definována ${\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ pro $1\leq i\leq n$ a $1\leq j\leq m$, kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\overline {\boldsymbol {A}}}^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}$, kde ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$ označuje transpozici a ${\overline {\boldsymbol {A}}}$ označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice ${\boldsymbol {A}}$ může být značena některým z těchto symbolů:

• ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\boldsymbol {A}}^{*}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }$, běžně používané v kvantové mechanice
• ${\boldsymbol {A}}^{+}$, ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi

Někdy ${\boldsymbol {A}}^{*}$ označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

Hermitovskou transpozice následující matice ${\boldsymbol {A}}$ lze získat ve dvou krocích.

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{pmatrix}}$

Nejprve je matice transponována:

${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{pmatrix}}$,

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{pmatrix}}$.

Poznámky

Čtvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ se nazývá

• Hermitovská nebo samosdružená pokud ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.
• Normální, pokud ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.
• Unitární pokud ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}$, ekvivalentně ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I}$.

I když ${\boldsymbol {A}}$ není čtvercová, obě matice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí $\operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})$ z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice ${\boldsymbol {A}}$ se reálnými prvky redukuje na transpozici ${\boldsymbol {A}}$, protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu $2\times 2$, s obvyklým sčítáním a násobením matic:

$a+\mathrm {i} b\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.$

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla $z$ reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor $\mathbb {R} ^{2}$ ), ovlivněné komplexním $z$ - násobením na $\mathbb {C}$ .

Každou komplexní matici typu $m\times n$ pak lze reprezentovat reálnou maticí $2m\times 2n$. Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

• $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$.
• $(z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ pro libovolné komplexní číslo $z$.
• $({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.
• ${\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}$ , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
• Je-li ${\boldsymbol {A}}$ čtvercová matice, pak $\det {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}={\overline {\det {\boldsymbol {A}}}}$, kde $\operatorname {det} {\boldsymbol {A}}$ označuje determinant matice ${\boldsymbol {A}}$ .
• Je-li ${\boldsymbol {A}}$ čtvercová matice, pak $\operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}={\overline {\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}}$, kde $\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}$ označuje stopu matice ${\boldsymbol {A}}$ .
• ${\boldsymbol {A}}$ je regulární právě když ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ je regulární a v tom případě ${\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}^{-1}={\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{-1}{\bigr )}^{\mathrm {H} }$ .
• Vlastní čísla ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům ${\boldsymbol {A}}$ .
• $\left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ pro jakoukoli matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$, libovolný vektor $x\in \mathbb {C} ^{n}$ a libovolný vektor $y\in \mathbb {C} ^{m}$ . Zde, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ označuje standardní skalární součin na $\mathbb {C} ^{m}$, a podobně pro $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$ .

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na ${\boldsymbol {A}}$ jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru $\mathbb {C} ^{n}$ na $\mathbb {C} ^{m},$ pak matice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ odpovídá sdruženému operátoru k ${\boldsymbol {A}}$ . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že $A$ je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru $V$ do $W$, pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici $A$ jako komplexní sdružení transpozice $A$ . Toto zobrazuje sdružený duál $W$ na sdružený duál $V$ .

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Conjugate transpose na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Skalární součin
• Sdružený operátor
• Adjungovaná matice

Portály: Matematika