Просмотр кода страницы Таблица производных

Вычисление [[Производная функции|производной]] — операция в [[дифференциальное исчисление|дифференциальном исчислении]]. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах <math>f</math> и <math>g</math> — произвольные дифференцируемые функции [[вещественная переменная|вещественной переменной]], а <math>c</math> — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой [[элементарная функция|элементарной функции]].

== Производные простых функций ==
* <math>{d \over dx} c = 0</math>

* <math>{d \over dx} x = 1</math>

* <math>{d \over dx} cx = c</math>
{{Вывод|<math>(cx)'=cx'=c</math>}}
* <math>{d \over dx} x^c = cx^{c-1},</math>        когда <math>x^c</math> и <math>cx^{c-1}</math> определены, <math>c \ne 0</math>
{{Вывод|
:<math>(x+h)^c = x^c+(x^c)'h+o(h)</math>
:<math>(x+h)^c-x^c=(x^c)'h+o(h)</math>
:<math>\sum_{k=0}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h)  </math>
:<math>x^c + cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h)  </math>
:<math>cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k}  =(x^c)'h+o(h)  </math>
:<math>cx^{c-1}h+o(h) =(x^c)'h+o(h)  </math>
:<math>\lim_{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+\frac{o(h)}{h}) =\lim_{h\rightarrow 0}((x^c)'+\frac{o(h)}{h})  </math>
:<math>cx^{c-1}=(x^c)'</math>
}}

* <math>{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0</math>
{{Вывод|
:Так как <math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, то пусть <math>g(x)=x^2, \quad h(x)=\sqrt{x}</math> и <math>f(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|</math>
: Тогда <math>f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}</math>
}}

* <math>{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math>

* <math>{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}</math>

* <math>{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math>

* <math>{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{1-n\over n} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}</math>

== Производные [[экспоненциальная функция|экспоненциальных]] и [[логарифм]]ических функций ==
*<math>{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0</math>
{{Вывод|
<math>{d \over dx} c^x= {d \over dx} e^{x\ln c}= e^{x\ln c}\ln c=c^x \ln c </math>
}}

* <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

* <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>

* <math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x}</math>
* <math>{d \over dx} \log_a x = \frac{ \log_a e} {x} =  \frac {1} {x \ln a}</math>
{{Вывод|
:<math>log_a(x+h)=log_a x+(log_a x)'h+o(h)</math>
:<math>log_a(x+h)-log_a x =(log_a x)'h+o(h)</math>
:<math>log_a(1+\frac{h}{x})=(log_a x)'h+o(h)</math>
:<math>log_a e \frac{h}{x}=(log_a x)'h+o(h)</math>

}}
* <math>\frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ f'(x) }{ f(x) \ln(a)}.</math>

== Производные [[тригонометрическая функция|тригонометрических]] и [[Обратные тригонометрические функции|обратных тригонометрических функций]] ==
* <math>{d \over dx} \sin x = \cos x</math>
{{Вывод|
:<math>\sin(x+h)= \sin x + (\sin x)'h+o(h)</math>
:<math>\sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)</math>
:<math>2\sin \frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}=(\sin x)'h+o(h)</math>
:<math>2(\frac{h}{2}+o(h))(\cos x+o(            1)) =(\sin x)'h+o(h)</math>
:<math>(\cos x)h+o(h) =(\sin x)'h+o(h)</math>
:<math>\cos x =\sin' x</math>
}}
* <math>{d \over dx} \cos x  = -\sin x</math>

* <math>{d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1</math>

*<math>{d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = -{1 \over \sin^2 x}</math>

* <math>{d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x</math>

* <math>{d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x</math>

* <math>{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>

*<math>{d \over dx} \arccos x = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>

* <math>{d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}</math>

*<math>{d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = -{1 \over 1 + x^2}</math>

* <math>{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>

*<math>{d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>

== Производные [[Гиперболические функции|гиперболических]] функций ==
: <math>{d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x =  1 - \operatorname{th}^2\, x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math>, при <math>|x|<1</math>

:<math>{d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>

: <math>{d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}</math>, при <math>|x|>1</math>

:<math>{d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>

== Правила дифференцирования общих функций ==
: <math>\left({cf}\right)' = cf'</math>

: <math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math>

: <math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math>

: <math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> (частный случай [[Формула Лейбница (производной произведения)|формулы]] [[Лейбниц]]а)

: <math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math>

: <math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0</math>

: <math>(f (g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)</math> — [[Правило дифференцирования сложной функции]]

: <math>f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0</math>

: <math>(f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f'</math>

== См. также ==
* [[Таблица первообразных]]

[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
[[Категория:Математические таблицы|П]]
[[Категория:Списки:Математика|Производные]]