Skala betów

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie

Dla każdej liczby kardynalnej $\kappa ,$ symbol $2^{\kappa }$ oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$

• Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha \in \mathbf {ON}$ definiuje się ciąg $\langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle$ (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):

(i) $\beth _{0}=\aleph _{0}$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,

(ii) $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$

(iii) jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

$\beth _{\gamma }=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }.$

Ciąg $\langle \beth _{\alpha }\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle$ jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• Przez indukcję po liczbach porządkowych $\alpha \in \mathbf {ON}$ zdefiniować można ciąg $\langle \beth _{\alpha }(\kappa )\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle {:}$

(a) $\beth _{0}(\kappa )=\kappa ,$

(b) $\beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},$

(c) jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

$\beth _{\gamma }(\kappa )=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa )=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa ).$

Własności i przykłady

• $\beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})$ dla każdego $\alpha .$
• Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że $\beth _{1}=\aleph _{1},$ a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że $(\forall \alpha \in \mathbf {ON} )(\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }).$
• $\beth _{1}$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru $\mathbb {R}$ wszystkich liczb rzeczywistych.
• $\beth _{2}$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $\mathbb {R} ,$ a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z $\mathbb {R}$ w $\mathbb {R} .$
• Istnieją liczby porządkowe $\alpha$ takie, że $\alpha =\beth _{\alpha }$ (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to $\beth _{\kappa }=\kappa ,$ ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu $\beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\dots$
• $\beth _{\omega }$ ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej $\kappa <\beth _{\omega }$ mamy również $2^{\kappa }<\beth _{\omega }.$

Bibliografia

• Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 55, 56. ISBN 3-540-44085-2.