Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
F-verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters
m
>
0
,
n
>
0
{\displaystyle m>0,\ n>0}
vrijheidsgraden
Drager
x
∈
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\in [0;\infty )}
Kansdichtheid
(
m
x
)
m
n
n
(
m
x
+
n
)
m
+
n
x
B
(
m
2
,
n
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(m\,x)^{m}\,\,n^{n}}{(m\,x+n)^{m+n}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}}
Verdelingsfunctie
I
m
x
m
x
+
n
(
m
/
2
,
n
/
2
)
{\displaystyle I_{\frac {mx}{mx+n}}(m/2,n/2)}
Verwachtingswaarde
n
n
−
2
{\displaystyle {\frac {n}{n-2}}}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
Modus
m
−
2
m
n
n
+
2
{\displaystyle {\frac {m-2}{m}}\;{\frac {n}{n+2}}}
m
>
2
{\displaystyle m>2}
Variantie
2
n
2
(
m
+
n
−
2
)
m
(
n
−
2
)
2
(
n
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,n^{2}\,(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}
n
>
4
{\displaystyle n>4}
Scheefheid
(
2
m
+
n
−
2
)
8
(
n
−
4
)
(
n
−
6
)
m
(
m
+
n
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(2m+n-2){\sqrt {8(n-4)}}}{(n-6){\sqrt {m(m+n-2)}}}}}
n
>
6
{\displaystyle n>6}
Moment-
bestaat niet
De F-verdeling , genoemd naar Sir R.A. Fisher , is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek . De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee onderling onafhankelijke chi-kwadraatverdeelde grootheden. Zij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets .
De F-verdeling met
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
stochastische variabele :
F
m
,
n
=
χ
m
2
/
m
χ
n
2
/
n
{\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}
waarin
χ
m
2
{\displaystyle \chi _{m}^{2}}
χ
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Als
S
1
2
{\displaystyle S_{1}^{2}}
S
2
2
{\displaystyle S_{2}^{2}}
steekproefvarianties zijn van de eerste
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
+
n
{\displaystyle m+n}
Z
1
,
…
,
Z
m
+
n
{\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{m+n}}
F
=
S
1
2
S
2
2
{\displaystyle F={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}}
een F-verdeling met
m
−
1
{\displaystyle m-1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
F-verdeling , omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraatverdeeld is.
De formule van de kansdichtheid
f
m
,
n
{\displaystyle f_{m,n}}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
m
,
n
(
x
)
=
Γ
(
m
+
n
2
)
Γ
(
m
2
)
Γ
(
n
2
)
(
m
n
)
m
/
2
x
m
/
2
−
1
(
1
+
m
n
x
)
(
m
+
n
)
/
2
{\displaystyle f_{m,n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\frac {({\frac {m}{n}})^{m/2}x^{m/2-1}}{(1+{\frac {m}{n}}x)^{(m+n)/2}}}}
De verwachtingswaarde is
E
F
m
,
n
=
n
n
−
2
{\displaystyle \operatorname {E} F_{m,n}={\frac {n}{n-2}}}
deze bestaat dus voor
n
>
2
{\displaystyle n>2}
De variantie is
var
(
F
m
,
n
)
=
2
(
n
n
−
2
)
2
m
+
n
−
2
m
(
n
−
4
)
{\displaystyle \operatorname {var} (F_{m,n})=2\left({\frac {n}{n-2}}\right)^{2}{\frac {m+n-2}{m(n-4)}}}
deze bestaat voor
n
>
4
{\displaystyle n>4}
· 
· 