Ultrafiltro

In teoria degli insiemi un ultrafiltro ${\mathcal {A}}$ è un filtro proprio sull'insieme $A$ tale che ogni sottoinsieme di $A$ o il suo complemento appartiene ad ${\mathcal {A}}$, in formule

$\forall X\subseteq A:(X\in {\mathcal {A}})\lor ({\bar {X}}\in {\mathcal {A}})$

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Proprietà

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia $x$ un elemento di $A$, e ${\mathcal {A}}$ il filtro principale generato da $x$. Allora, per ogni sottoinsieme $S$ di $A$, se $x\in S$, allora $S\in {\mathcal {A}}$. Se invece $x\not \in S$, per la definizione di insieme complemento, $x\in {\bar {S}}$ e quindi ${\bar {S}}\in {\mathcal {A}}$.

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme ${\mathcal {S}}$ dei sottoinsiemi cofiniti di $A$, non è un ultrafiltro. Infatti sia $S$ un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di $A$ tranne un numero finito. Se $A$ è finito, ${\mathcal {S}}$ non è un filtro proprio: infatti l'insieme $A\setminus \{x\}$ ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in ${\mathcal {S}}$, ma contiene $\varnothing$ e dunque non è un filtro proprio. Se invece $A$ è infinito, $\exists X\subset A$ tale che sia $X$ che ${\bar {X}}$ sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in ${\mathcal {S}}$.

Ultrafiltro libero

Un ultrafiltro ${\mathcal {U}}$ su di un insieme $A$ si definisce libero quando contiene il filtro cofinito $F_{A}$.

Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.

Bibliografia

• Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics, in The Journal of Symbolic Logic, vol. 52, n. 2, giugno 1987, pp. 437-454.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Numero iperreale