Pangkat dua

$5\cdot5$ , atau $52$ (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu bujursangkar. Setiap blok mewakili satu unit, $1\cdot1$ , dan seluruh bujursangkar mewakili $5\cdot5$ , atau luas bujursangkar.

Pangkat dua atau bilangan kuadrat (bahasa Inggris: square) dalam matematika adalah hasil perkalian antara suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya operasi ini sama dengan memangkatkan dengan bilangan 2, dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi superskrip. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3², yang sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada bahasa pemrograman atau teks biasa, notasi x^2 atau x**2 dapat digunakan untuk menggantikan x².

Hasil pangkat dua suatu bilangan bulat dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam aljabar, operasi pengkuadratan banyak diperumum ke polinomial, ekspresi lain, atau bentuk-bentuk dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari fungsi linear $x + 1$ adalah polinomial kuadrat $x 2 + 2 x + 1$ .

Salah satu sifat penting dari kuadrat, pada semua bilangan maupun pada banyak sistem matematika lainnya, adalah bahwa untuk setiap $x$ (dapat berupa bilangan atau objek matematika lainnya), pangkat dua dari $x$ memiliki hasil yang sama dengan pangkat dua dari invers aditifnya, $- x$ . Dengan kata lain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan $x 2 = (- x) 2$ . Hal ini mengartikan fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi genap.

Dalam sistem bilangan bulat

Hasil penjumlahan n bilangan ganjil positif pertama adalah n². 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n². Visualisasi bukti secara 3D pada sebuah tetrahedron.

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat lainnya. Sebagai contoh, 9 adalah kuadrat sempurna karena bernilai sama dengan $3^{2}$ , dan dapat ditulis sebagai $3\times 3$ . Pada sistem bilangan real, definisi lain untuk kuadrat sempurna adalah bilangan yang akar kuadratnya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat karena ${\sqrt {9}}=3$ merupakan bilangan bulat.

Bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi berupa bilangan kuadrat selain 1, disebut sebagai bilangan bebas kuadrat.

Sifat

Bilangan $m$ adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika $m$ titik dapat disusun sebagai sebuah persegi seperti berikut:

$m = 1 2 = 1$
$m = 2 2 = 4$
$m = 3 2 = 9$
$m = 4 2 = 16$
$m = 5 2 = 25$

Bentuk untuk bilangan kuadrat ke- $n$ adalah $n^{2}$ . Bentuk ini sama dengan jumlah $n$ bilangan ganjil (positif) pertama. Seperti pada gambar di atas, bilangan kuadrat baru dapat dihasilkan dari bilangan kuadrat dengan menambahkan sejumlah ganjil titik baru (ditandai dengan warna ungu). Secara matematis, visualisasi tersebut menunjukkan hubungan $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$ Sebagai contoh, $52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Fakta $n^{2}$ adalah bilangan kuadrat ke- $n$ juga menyimpulkan bahwa terdapat $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ bilangan kuadrat sempurna diantara 1 sampai (dan termasuk) $m$ , dengan notasi $\lfloor x\rfloor$ menyatakan fungsi lantai dari $x$ . Sifat lain dari bilangan kuadrat sempurna (selain 0) adalah mereka memiliki pembagi positif dengan jumlah yang ganjil, sedangkan bilangan bulat lainnya memiliki jumlah yang genap.

Teorema empat-kuadrat Lagrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari empat (atau kurang) bilangan kuadrat sempurna. Jumlah dari tiga kuadrat sempurna tidak dapat menghasilkan bilangan berbentuk $4 k (8 m + 7)$ .^[1] Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua kuadrat sempurna ketika faktorisasi primanya tidak mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima berbentuk $4 k + 3$ .^[2] Hubungan ini dapat diperumum menjadi masalah Waring.

Secara umum, jika bilangan prima $p$ membagi suatu kuadrat sempurna $m$ , maka kuadrat dari $p$ juga membagi $m$ . Dalam bentuk lain, jika $p$ tidak dapat membagi $m p$ , maka $m$ pasti bukan bilangan kuadrat sempurna. Dengan menggunakan sifat pembagian ini secara berulang, dapat disimpulkan setiap bilangan prima akan membagi suatu kuadrat sempurna dengan sebanyak genap kali (termasuk sebanyak 0 kali). Akibatnya, bilangan $m$ adalah kuadrat sempurna jika dan hanya jika semua ekponen pada representasi kanoniknya merupakan bilangan genap.

Uji kekuadratan dapat digunakan sebagai cara alternatif faktorisasi bilangan berukuran besar. Daripada menguji keterbagian, uji sifat kekuadratan bilangan: untuk suatu $m$ dan bilangan $k$ , jika $k 2 - m$ adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat $n$ maka $k - n$ membagi $m$ . Sebagai contoh, $1002 - 9991$ adalah kuadrat dari 3, akibatnya $100 - 3$ membagi 9991. Uji ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil yang berada di selang $k - n$ sampai $k + n$ , dengan $k$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $k\geq {\sqrt {m}}.$

Bilangan kuadrat sempurna tidak dapat berupa bilangan sempurna.

Jumlah dari $n$ kuadrat sempurna pertama memenuhi hubungan $\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$ Bilangan-bilangan ini disebut bilangan piramida persegi (barisan A000330 pada OEIS), dengan beberapa nilai pertamanya adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Jumlah dari $n$ bilangan kubik pertama sama dengan kuadrat dari jumlah $n$ bilangan positif pertama. Hubungan ini dikenal dengan teorema Nicomachu.

Dalam teori bilangan dan aljabar abstrak

Konsep pengkuadratan berperan penting dalam lapangan hingga $\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ , yang dibentuk dari bilangan-bilangan bulat modulo bilangan prima ganjil $p$ . Elemen tak-nol dari lapangan ini disebut residu kuadratik jika ia merupakan kuadrat di $\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ , dan selain itu disebut nonresidu kuadratik. Nol, walau merupakan kuadrat, tidak dianggap sebagai residu kuadratik. Setiap lapangan hingga jenis ini memiliki tepat $(p-1)/2$ residu kuadratik dan tepat $(p-1)/2$ nonresidu kuadratik. Residu-residu kuadratik membentuk sebuah grup terhadap perkalian. Sifat-sifat dari residu kuadrat banyak digunakan dalam teori bilangan.

Fungsi kuadrat terdefinisi di sembarang lapangan maupun gelanggang. Elemen dari hasil pemetaan dari fungsi ini disebut kuadrat, sedangkan elemen invers pemetaannya disebut akar kuadrat. Lebih umum, fungsi kuadrat pada gelanggang yang berbeda dapat memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan gelanggang.

Elemen nol mungkin merupakan kuadrat dari suatu elemen tak-nol. Gelanggang komutatif yang setiap kuadrat elemen tak-nolnya tidak bernilai nol, disebut dengan gelanggang tereduksi. Secara umum, ideal radikal adalah ideal $I$ yang memenuhi sifat: $x^{2}\in I$ mengakibatkan $x\in I$ .

Elemen gelanggang yang bernilai sama dengan kuadratnya sendiri disebut idempoten. Pada sembarang gelanggang, 0 dan 1 bersifat idempoten. Selain dua elemen tersebut, tidak ada idempoten lain pada lapangan (dan secara umum pada domain integral). Tapi, pada gelanggang dari bilangan-bilangan bulat modulo $n$ akan terdapat sebanyak $2^{k}$ idempoten, dengan $k$ adalah banyaknya faktor prima unik dari $n$ . Gelanggang komutatif yang setiap elemennya sama dengan kuadratnya disebut dengan gelanggang Boolean.

Pada gelanggang terurut total, berlaku $x 2 \geq 0$ untuk sembarang $x$ . Lebih lanjut $x 2 = 0$ berlaku jika dan hanya jika $x = 0$ .

Dalam sistem bilangan real

Kurva fungsi kuadrat $y = x 2$ mempunyai bentuk parabola. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu hukum kuadrat.

Pada bilangan real, fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai pemetaan dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real nonnegatif. Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu fungsi monotonik pada interval $[0, +\infty)$ . Sedangkan pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval $(-\infty,0]$ . Kedua hal tersebut mengartikan bilangan nol merupakan nilai minimum global dari fungsi kuadrat. Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan suatu bilangan $x$ menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari $x$ , yaitu ketika $0 < x < 1$ . Kasus ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu bilangan bulat tidak pernah bernilai lebih kecil daripada bilangan bulat tersebut.

Setiap bilangan real positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan nol hanya merupakan kuadrat dari satu bilangan saja, yakni nol itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi akar kuadrat, yang memadankan bilangan real non-negatif $y$ dengan bilangan nonnegatif $x$ yang kuadratnya sama dengan $y$ .

Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat dalam sistem bilangan real, karena sifat kuadrat dari sembarang bilangan real bernilai nonnegatif. Ketidakadaan akar kuadrat untuk bilangan negatif dapat digunakan untuk memperumum sistem bilangan real menjadi sistem bilangan kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan suatu unit imajiner $i$ , yang nilainya sama dengan akar kuadrat dari - 1. Sifat kuadrat pada sistem bilangan real juga dapat diperumum ke konsep lapangan real tertutup, yakni lapangan terurut yang setiap elemen nonnegatifnya merupakan kuadrat dan setiap polinomial berderajat ganjil memiliki sebuah akar. Lapangan real tertutup tidak dapat dibedakan dari sistem bilangan real hanya dari sifat-sifat aljabar mereka. Hal ini mengartikan setiap sifat sistem bilangan real yang dapat dinyatakan lewat logika tingkat-pertama juga berlaku bagi sembarang lapangan real tertutup, dan sebaliknya.

Dalam sistem bilangan kompleks

Kuadrat dari nilai absolut suatu bilangan kompleks disebut dengan kuadrat absolut atau modulus kuadrat.^[3]^{[butuh sumber yang lebih baik]} Kuadrat ini dihasilkan dari perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya, dan nilainya sama dengan jumlah dari kuadrat bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut. Kuadrat absolut dari sembarang bilangan kompleks selalu bernilai nonnegatif, dan bernilai 0 hanya ketika bilangan kompleksnya adalah 0. Fungsi ini lebih mudah dihitung ketimbang mencari nilai absolut (tidak menggunakan fungsi akar kuadrat) dan merupakan fungsi mulus bernilai real. Karena dua sifat ini, fungsi kuadrat absolut cenderung digunakan ketimbang fungsi nilai absolut, dalam komputasi numerik dan ketika metode-metode analisis matematika digunakan (misalnya terkait optimisasi dan integrasi).

Dalam geometri

Terdapat beberapa penggunaan fungsi kuadrat yang umum dalam geometri. Dalam pendefinisian luas misalnya, luas dari persegi dengan sisi sepanjang $l$ adalah $l 2$ . Luas daerah ini bergantung kuadratik dengan panjang sisi: persegi dengan sisi $n$ kali lebih panjang memiliki luas $n 2$ kali lebih besar. Sifat ini juga berlaku pada luas di dimensi tiga; sebagai contoh, luas permukaan bola sebanding dengan kuadrat panjang radiur bola tersebut. Pada dunia nyata, sifat ini terlihat dalam hukum kuadrat-terbalik yang menjelaskan kekuatan besaran-besaran fisika (kekuatan gravitasi, gaya elektrostatik, intensitas suara) berubah bergantung jarak dari pemancarnya.

Fungsi kuadrat memiliki hubungan dengan besaran jarak lewat teorema Pythagoras dan perumumannya, hukum jajaran genjang.

Hasil kali titik dari sembarang vektor Euklides dengan dirinya sendiri, akan sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut: $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}$ . Sifat ini selanjutnya dapat diperumum ke bentuk kuadratik dalam ruang vektor dengan menggunakan bantuan hasil kali dalam. Secara fisik, sifat ini menunjukkan hubungan antara momen inersia dengan jarak (ukuran) benda.

Terdapat tak hingga banyaknya tripel Pythagoras, yakni pasangan tiga bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah dari kuadrat dua bilangan yang lain. Setiap tripel ini menghasilkan segitiga siku-siku yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat.

Penggunaan lainnya

Konsep pengkuadratan berperan penting dalam aljabar maupun hampir di semua bidang matematika lainnya, juga dalam fisika. Bilangan kuadrat dapat diperumum ke beberapa sistem bilangan lainnya. Pada sistem bilangan rasional, bilangan kuadrat dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dari dua bilangan bulat kuadrat; sebagai contoh, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ .

Dalam analisis regresi, metode kuadrat terkecil umum dipakai dalam sistem overdetermined (sistem yang memiliki lebih banyak persamaan ketimbang variabel).

Pengkuadratan juga digunakan dalam statistika dan teori probabilitas dalam menentukan simpangan baku dari suatu himpunan nilai atau suatu variabel acak. Penyimpangan setiap nilai $x i$ dari rerata himpunan ${\overline {x}}$ didefinisikan sebagai deviasi $x_{i}-{\overline {x}}$ . Varians himpunan didefinisikan sebagai rerata dari hasil pengkuadratan setiap deviasi. Sedangkan akar kuadrat dari varians disebut simpangan baku.

Lihat pula

Persamaan kuadrat
Pangkat tiga
Eksponensiasi dengan kuadrat
Polinomial SOS, representasi dari sebuah polinomial tak negatif sebagai penjumlahan kuadrat polinomial
Masalah ketujuhbelas Hilbert, untuk representasi polinomial positif sebagai sebuah penjumlahan kuadrat fungsi rasional
Polinomial bebas-persegi
Tensor metrik
Gelanggang polinomial

Identitas terkait

Aljabar (membutuhkan suatu gelanggang komutatif)

Selisih dua kuadrat
Identitas Brahmagupta–Fibonacci, berkaitan dengan bilangan kompleks dalam arti yang dibahas di atas
Identitas Euler empat kuadrat, berkaitan dengan kuaternion dengan cara yang sama
Identitas Degen delapan kuadrat, berkaitan dengan oktonion dengan cara yang sama
Identitas Lagrange

Lain-lain

Kuantitas fisik terkait

Percepatan, panjang per kuadrat waktu
Penampang lintang (fisika), suatu kuantitas berdimensi area
Konstanta kopling (mempunyai muatan kuadrat pada penyebut, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
Energi kinetik (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
Energi spesifik, sebuah kuantitas berdimensi (kecepatan kuadrat)

Referensi

^ Garge, Anuradha S. (Desember 2012). Shirali, Shailesh; Titus, Sneha, ed. At Right Angles (PDF). 1. Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley. hlm. 5–9.
^ Dudley, Underwood (1969). "Sums of Two Squares". Elementary Number Theory. W.H. Freeman and Company. hlm. 135–139.
^ Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.

Pustaka tambahan

Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

[1] Garge, Anuradha S. (Desember 2012). Shirali, Shailesh; Titus, Sneha, ed. At Right Angles (PDF). 1. Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley. hlm. 5–9.

[2] Dudley, Underwood (1969). "Sums of Two Squares". Elementary Number Theory. W.H. Freeman and Company. hlm. 135–139.

[3] Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.

[1]

[2]

[3]