En théorie des nombres , le lemme LTE (Lifting The Exponent), ou lemme de Manea donne des formules pour calculer la valuation p -adique
ν
p
{\displaystyle \nu _{p}}
de certaines expressions entières.
D'après [ 1] , le lemme LTE sous sa forme actuelle est dû au mathématicien roumain Mihai Manea[ 2] . Cependant, plusieurs idées clés utilisées dans sa démonstration étaient connues de Gauss et référencées dans ses Disquisitiones Arithmeticae [ 3] . Bien qu'il soit principalement utilisé dans les compétitions mathématiques , il est parfois appliqué à des sujets de recherche, tels que les courbes elliptiques [ 4] , [ 5] .
Étant donné des entiers
x
,
y
{\displaystyle x,y}
, un entier strictement positif
n
{\displaystyle n}
, et un nombre premier
p
{\displaystyle p}
tel que
p
∤
x
{\displaystyle p\nmid x}
et
p
∤
y
{\displaystyle p\nmid y}
, on a :
Si
p
{\displaystyle p}
est impair:
Si
p
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle p\mid (x-y)}
, alors
ν
p
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
p
(
x
−
y
)
+
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)+\nu _{p}(n)}
.
Si
p
∣
(
x
+
y
)
{\displaystyle p\mid (x+y)}
et
n
{\displaystyle n}
est impair, alors
ν
p
(
x
n
+
y
n
)
=
ν
p
(
x
+
y
)
+
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)+\nu _{p}(n)}
.
Si
p
=
2
{\displaystyle p=2}
:
Si
2
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle 2\mid (x-y)}
et
n
{\displaystyle n}
est pair, alors
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
+
ν
2
(
x
+
y
)
+
ν
2
(
n
)
−
1
{\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1}
.
Si
2
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle 2\mid (x-y)}
et
n
{\displaystyle n}
est impair alors
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)}
.
Corollaire:
Si
4
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle 4\mid (x-y)}
, alors
ν
2
(
x
+
y
)
=
1
{\displaystyle \nu _{2}(x+y)=1}
, et
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
+
ν
2
(
n
)
{\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)}
.
Pour tout
p
{\displaystyle p}
:
Si
p
∤
n
{\displaystyle p\nmid n}
et
p
∣
x
−
y
{\displaystyle p\mid x-y}
, alors
ν
p
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
p
(
x
−
y
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)}
.
Si
p
∤
n
{\displaystyle p\nmid n}
,
p
∣
x
+
y
{\displaystyle p\mid x+y}
et
n
{\displaystyle n}
est impair, alors
ν
p
(
x
n
+
y
n
)
=
ν
p
(
x
+
y
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)}
.
On montre d'abord le cas où
p
∤
n
{\displaystyle p\nmid n}
.
Si
p
∤
x
{\displaystyle p\nmid x}
,
p
∤
y
{\displaystyle p\nmid y}
,
p
∤
n
{\displaystyle p\nmid n}
et
p
∣
x
−
y
{\displaystyle p\mid x-y}
, alors
x
≡
y
(
mod
p
)
{\displaystyle x\equiv y{\pmod {p}}}
, donc
x
n
−
1
+
x
n
−
2
y
+
x
n
−
3
y
2
+
⋯
+
y
n
−
1
≡
n
x
n
−
1
≢
0
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1}\equiv nx^{n-1}\not \equiv 0{\pmod {p}}\ }
.
La formule de Bernoulli :
x
n
−
y
n
=
(
x
−
y
)
(
x
n
−
1
+
x
n
−
2
y
+
x
n
−
3
y
2
+
⋯
+
y
n
−
1
)
{\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1})}
permet donc d'affirmer que
ν
p
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
p
(
x
−
y
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)}
.
La formule
ν
p
(
x
n
+
y
n
)
=
ν
p
(
x
+
y
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)}
pour
n
{\displaystyle n}
impair est obtenue de manière similaire.
On commence par le cas
n
=
p
{\displaystyle n=p}
, où l'on doit montrer que
ν
p
(
x
p
−
y
p
)
=
ν
p
(
x
−
y
)
+
1
{\displaystyle \nu _{p}(x^{p}-y^{p})=\nu _{p}(x-y)+1}
; on a cette fois
x
p
−
1
+
x
p
−
2
y
+
⋯
+
y
n
−
1
≡
p
x
p
−
1
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots +y^{n-1}\equiv px^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}}
. Via la formule du binôme , en effectuant la substitution
y
=
x
+
k
p
{\displaystyle y=x+kp}
, on montre que
x
p
−
1
+
x
p
−
2
y
+
⋯
+
y
n
−
1
{\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots +y^{n-1}}
n'est pas multiple de
p
2
{\displaystyle p^{2}}
d'où le résultat[ 6] . De même,
ν
p
(
x
p
+
y
p
)
=
ν
p
(
x
+
y
)
+
1
{\displaystyle \nu _{p}(x^{p}+y^{p})=\nu _{p}(x+y)+1}
.
En écrivant
n
{\displaystyle n}
sous la forme
p
a
b
{\displaystyle p^{a}b}
où
p
∤
b
{\displaystyle p\nmid b}
, le cas de base donne
ν
p
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
p
(
(
x
p
a
)
b
−
(
y
p
a
)
b
)
=
ν
p
(
x
p
a
−
y
p
a
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}((x^{p^{a}})^{b}-(y^{p^{a}})^{b})=\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})}
. Par récurrence sur
a
{\displaystyle a}
,
ν
p
(
x
p
a
−
y
p
a
)
=
ν
p
(
(
(
…
(
x
p
)
p
…
)
)
p
−
(
(
…
(
y
p
)
p
…
)
)
p
)
(exponentiation utilisée
a
fois dans chaque terme)
=
ν
p
(
x
−
y
)
+
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})&=\nu _{p}(((\dots (x^{p})^{p}\dots ))^{p}-((\dots (y^{p})^{p}\dots ))^{p})\ {\text{(exponentiation utilisée }}a{\text{ fois dans chaque terme)}}\\&=\nu _{p}(x-y)+a\end{aligned}}}
Un argument similaire peut être appliqué à
ν
p
(
x
n
+
y
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})}
.
La preuve précédente ne peut pas être appliquée directement lorsque
p
=
2
{\displaystyle p=2}
car le coefficient binomial
(
p
2
)
=
p
(
p
−
1
)
2
{\displaystyle {\binom {p}{2}}={\frac {p(p-1)}{2}}}
n'est un multiple de
p
{\displaystyle p}
que lorsque
p
{\displaystyle p}
est impair.
Cependant, on peut montrer que
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
+
ν
2
(
n
)
{\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)}
quand
4
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle 4\mid (x-y)}
en écrivant
n
=
2
a
b
{\displaystyle n=2^{a}b}
où
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
sont des entiers avec
b
{\displaystyle b}
impair et notant que
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
(
x
2
a
)
b
−
(
y
2
a
)
b
)
=
ν
2
(
x
2
a
−
y
2
a
)
=
ν
2
(
(
x
2
a
−
1
+
y
2
a
−
1
)
(
x
2
a
−
2
+
y
2
a
−
2
)
⋯
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
(
x
−
y
)
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
+
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(x^{n}-y^{n})&=\nu _{2}((x^{2^{a}})^{b}-(y^{2^{a}})^{b})\\&=\nu _{2}(x^{2^{a}}-y^{2^{a}})\\&=\nu _{2}((x^{2^{a-1}}+y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-2}}+y^{2^{a-2}})\cdots (x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y))\\&=\nu _{2}(x-y)+a\end{aligned}}}
puisque comme
x
≡
y
≡
±
1
(
mod
4
)
{\displaystyle x\equiv y\equiv \pm 1{\pmod {4}}}
, chaque facteur de la forme
x
2
k
+
y
2
k
{\displaystyle x^{2^{k}}+y^{2^{k}}}
est congru à 2 modulo 4.
L'énoncé plus fort
ν
2
(
x
n
−
y
n
)
=
ν
2
(
x
−
y
)
+
ν
2
(
x
+
y
)
+
ν
2
(
n
)
−
1
{\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1}
quand
2
∣
(
x
−
y
)
{\displaystyle 2\mid (x-y)}
se prouve de manière analogue[ 6] .
↑ Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre , Ellipses, 2016 , p. 133
↑ (en) Mihai Manea, « ... », Mathematics Magazine , vol. 79, no 2, avril 2006 , p. 140-145
↑ (la) C. F. Gauss, « Disquisitiones arithmeticae, Articles 86–87 », 1801
↑ Geretschläger, R. (2020). Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1
↑ Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. Journal of Number Theory, 181 , 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028
↑ a et b (en) Amir Hossein Parvardi, « Lifting The Exponent Lemma (LTE) », 11 juillet 2020