Demi-groupe 3x+1

En algèbre et en arithmétique, le demi-groupe 3x + 1 est un sous-demi-groupe particulier du demi-groupe des nombres rationnels positifs. Les éléments d'un ensemble de générateurs de ce demi-groupe sont liés à la suite de nombres intervenant dans la conjecture connue sous le nom de conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz ou encore conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1. Le demi-groupe 3x + 1 a été utilisé pour démontrer une forme faible de la conjecture de Collatz, et a été en fait introduit à ce propos par Hershel Farkas en 2005. Diverses généralisations du demi-groupe 3x + 1  ont ensuite été construites et étudiées.

Définition

Le demi-groupe 3x + 1 est le demi-groupe multiplicatif de nombres rationnels positifs engendré par les nombres rationnels

$2,1/2,3/5,5/8,7/11,\ldots$

qui sont, en plus de l’entier 2, les nombres de la forme

${\frac {2k+1}{3k+2}}\quad$ pour $\quad k\geq 0$.

Ce demi-groupe est relié à la fonction $T:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ des entiers relatifs définie par

$T(n)={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(3n+1)/2&{\text{sinon. }}\end{cases}}$

La conjecture de Syracuse affirme que, pour chaque entier positif n, une certaine itérée de la fonction T envoie n sur 1 ou, en d'autre termes, que T^(k)(n) = 1 pour un certain entier k. Par exemple, si n = 7, alors les valeurs de T^(k)(n) pour k = 1, 2, 3, . . . sont 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 et T⁽¹¹⁾(7) = 1.

Le demi-groupe 3x + 1 est relié à la conjecture de Collatz par le fait qu'il est engendré par les fractions

${\dfrac {n}{T(n)}}$

pour $n>0$, puisque $T(2k+1)=3k+2$ et $T(2k)=k$.

La conjecture de Collatz faible

Notons S le demi-groupe 3x + 1. La conjecture de Collatz faible, énoncée par Farkas, affirme que le demi-groupe S contient tous les entiers positif. Le demi-groupe S a la propriété que si T(n) est dans S, alors n est dans S, parce que chaque n/T(n) est un générateur de S. Il en résulte que si un itéré de T(n) est égal à 1, alors n est dans S. Ainsi, la conjecture de Syracuse implique la conjecture faible. La conjecture faible a été démontrée par Applegate et Lagarias. Elle est une conséquence de la propriété suivante du demi-groupe S  : Le demi-groupe S est constitué de l'ensemble des nombres rationnels positifs a/b, avec a et b premiers entre eux, tels que b ≠ 0 (mod 3). En particulier, ce demi-groupe contient tous les entiers positifs.

Le  demi-groupe sauvage (« wild semigroup »)

Le demi-groupe engendré par l’ensemble des fractions T(n)/n ou, de manière équivalente, par 1/2 et les nombres

${\frac {3k+2}{2k+1}}\quad$ pour $\quad k\geq 0$

est appelé le demi-groupe sauvage (« wild semigroup » en anglais). Par le théorème d'Applegate et Lagarias, il est formé des entiers m tels que m ≠ 0 (mod 3). C'était la « Wild Numbers Conjecture », maintenant démontrée.