Вызначнік (алгебра)

Вызначнік (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n² зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

Строгае азначэнне

Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы

Няхай

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}.$

Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

$\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\dots a_{n,\sigma (n)},$

дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.

Праз адметныя ўласцівасці

Няхай

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

− матрыца, каэфіцыенты a_ij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз a_i i-ты слупок матрыцы A:

$a_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\dots \\a_{in}\end{pmatrix}}.$

Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:

1. Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:

   $\det E=1$

2. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):

   $\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &\lambda a'_{j}+\mu a''_{j}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a'_{j}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}\ +\ \mu \det {\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a''_{j}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}$

3. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):

   $\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{j}&a_{j+1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{j+1}&a_{j}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}$

Уласцівасці

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

  $\det E=1$

• Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:

  $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

• Няхай r ёсць скалярнай велічынёю, A з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку n. Тады

  $\det(rA)=r^{n}\det(A)$

• Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:

  $\det A^{T}=\det A$

• Няхай колца R ёсць полем. Тады

  $\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}$

• Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: a_ij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: a_ij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:

  $\det A=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}.$

Вызначнікі малых парадкаў

Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}$

Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):

$\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}M_{1j},$

дзе $M_{1j}$ — дадатковы мінор элемента $a_{1j}.$

Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор M_ij элемента a_ij, трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

Літаратура

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.