Media (estatística)

En matemáticas e estatística unha media é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética.

Construción xeométrica para achar as medias aritmética, xeométrica, harmónica e cuadrática de dous números a e b.

Comparación da media aritmética, a mediana e a moda de dúas distribucións log-normal con diferente asimetría.

Exemplos de medias

Existen numerosos exemplos de medias $\scriptstyle {\bar {x}}=m_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$. Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables:

$\min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq {\bar {x}}\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}$

Ademais debe cumprirse que:

${\bar {x}}=x_{1},\quad {\mbox{si}}\ x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}$

Media aritmética

A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media".

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é ${\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\ ={\tfrac {217}{6}}\approx 36,167$

Media aritmética ponderada

Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ é un conxunto de datos ou media muestral e $w_{1},w_{2},...,w_{n}$ son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como:

${\bar {X}}_{w}={\frac {X_{1}\cdot w_{1}+X_{2}\cdot w_{2}+...+X_{n}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}\cdot w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se X é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de X, é dicir, Y = a·X + b (onde a representa a magnitude do cambio de escala e b a do cambio de orixe) tense que:

${\bar {Y}}=a{\bar {X}}+b$

Media xeométrica

A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}$

Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é $(34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34)^{1/6}=1699493400^{1/6}\approx 34,545$

Media harmónica

A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

${\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$

Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é ${\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33,018$

Xeneralizacións da media

Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

Media xeneralizada

As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión:

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}$

Escollendo un valor apropiado do parámetro m, tense:

• $m\rightarrow \infty$ - máximo,
• $m=2\,$ - media cuadrática,
• $m=1\,$ - media aritmética,
• $m\rightarrow 0$ - media xeométrica,
• $m=-1\,$ - media harmónica,
• $m\rightarrow -\infty$ - mínimo.

Media-f xeneralizada

Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada:

${\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

onde $f:I\to I$ é unha función inxectiva e $I\subset \mathbb {R}$ un intervalo. Escollendo formas particulares para $f$ obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:

• $f(x)=x\,$ - media aritmética, $I=\mathbb {R}$
• $f(x)={\frac {1}{x}}$ - media harmónica, $I=(0,\infty )$
• $f(x)=x^{m}\,$ - media xeneralizada, $I=(0,\infty )$
• $f(x)=\ln x\,$ - media xeométrica, $I=(0,\infty )$.

Media dunha función

Para unha función continua $f$ sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función $f$ sobre [a,b] como:

${\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(t)dt$

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

Media estatística

A media estatística emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:

• A media da mostra, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
• A media da poboación, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.

Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

Media da mostra

A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media de poboación, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores $(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade F(x, θ) [onde θ é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra n-ésima como:

${\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

Media da poboación

A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media cuadrática
• Media aritmética xeométrica
• Media heroniana
• Media (matemáticas)