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- In differential geometry, a Kähler–Einstein metric on a complex manifold is a Riemannian metric that is both a Kähler metric and an Einstein metric. A manifold is said to be Kähler–Einstein if it admits a Kähler–Einstein metric. The most important special case of these are the Calabi–Yau manifolds, which are Kähler and Ricci-flat. The most important problem for this area is the existence of Kähler–Einstein metrics for compact Kähler manifolds. This problem can be split up into three cases dependent on the sign of the first Chern class of the Kähler manifold:
* When the first Chern class is negative, there is always a Kähler–Einstein metric, as Thierry Aubin and Shing-Tung Yau proved independently.
* When the first Chern class is zero, there is always a Kähler–Einstein metric, as Yau proved in the Calabi conjecture. That leads to the name Calabi–Yau manifolds. He was awarded with the Fields Medal partly because of this work.
* The third case, the positive or Fano case, remained a well-known open problem for many years. In this case, there is a non-trivial obstruction to existence. In 2012, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, and Song Sun proved that in this case existence is equivalent to an algebro-geometric criterion called K-stability. Their proof appeared in a series of articles in the Journal of the American Mathematical Society. A proof was produced independently by Gang Tian at the same time. When first Chern class is not definite, or we have intermediate Kodaira dimension, then finding canonical metric remained as an open problem, which is called the algebrization conjecture via analytical minimal model program. (en)
- En geometría diferencial, una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es a la vez una métrica de Kähler y una . Se dice que una variedad es Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estos son los colectores de Calabi-Yau, que son Kähler y . El problema más importante para esta área es la existencia de métricas Kähler-Einstein para colectores Kähler compactos. En el caso en el que hay una métrica de Kähler, la curvatura de Ricci es proporcional a la métrica de Kähler. Por lo tanto, la primera clase de Chern es negativa, cero o positiva. Cuando la primera clase de Chern es negativa, Aubin y Yau demostraron que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein. Cuando la primera clase de Chern es cero, Yau demostró la de que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein. Shing-Tung Yau fue galardonado con su medalla Fields debido a este trabajo. Eso lleva al nombre de variedades de Calabi-Yau. El tercer caso, el positivo o el caso Fano, es el más difícil. En este caso, hay una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Chen, Donaldson y Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado . Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society. Cuando la primera clase de Chern no es definitiva, o tenemos una dimensión de Kodaira intermedia, encontrar la métrica canónica sigue siendo un problema abierto, que se denomina conjetura de Algebrización mediante el Teorema de Modelo Mínimo Analítico. Conjetura de unificación de geometrización con conjetura de algebrización y conjetura de análisis referida como teorema de Song-Tian (es)
- 微分幾何学において、複素多様体上のケーラー・アインシュタイン計量 (Kähler–Einstein metric) は、ケーラー計量かつアインシュタイン計量であるようなリーマン計量である。多様体がケーラー・アインシュタインであるとは、ケーラー・アインシュタイン計量を持つ場合を言う。これらの中で最も重要なものは、カラビ・ヤウ多様体であり、これは、ケーラーかつリッチ平坦なものである。 この分野の最も重要な問題は、コンパクトケーラー多様体にケーラー・アインシュタイン計量が存在することである。 ケーラー計量がある場合には、リッチ曲率はケーラー計量に比例するので、第一チャーン類は、負か、0か、または、正のいずれかである。 第一チャーン類が負の場合は、オーバン(Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)が常にケーラー・アインシュタイン計量が存在することを証明した。 第一チャーン類が 0 の場合は、ヤウは常にケーラー・アインシュタイン計量が存在するというカラビ予想を証明した。ヤウはこの仕事でフィールズ賞を受賞した。これがカラビ・ヤウ多様体の名称の由来である。 残りの、第一チャーン類が正の場合（ファノ多様体と言う）が最も困難である。この場合は、存在に非自明な障害が存在する。2012年、チェン(Chen)、ドナルドソン(Donaldson)、スン(Sun)は、この場合の存在性は K-安定性と呼ばれる代数幾何学的な条件に同値であることを証明した。彼らの証明は、アメリカ数学会誌 (the Journal of the American Mathematical Society) の一連の論文に発表された。 (ja)
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