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- In the theory of Lie groups, the exponential map is a map from the Lie algebra g of a Lie group G into G. In case G is a matrix Lie group, the exponential map reduces to the matrix exponential. The exponential map, denoted exp:g → G, is analytic and has as such a derivative d/dtexp(X(t)):Tg → TG, where X(t) is a C1 path in the Lie algebra, and a closely related differential dexp:Tg → TG. The formula for dexp was first proved by Friedrich Schur (1891). It was later elaborated by Henri Poincaré (1899) in the context of the problem of expressing Lie group multiplication using Lie algebraic terms. It is also sometimes known as Duhamel's formula. The formula is important both in pure and applied mathematics. It enters into proofs of theorems such as the Baker–Campbell–Hausdorff formula, and it is used frequently in physics for example in quantum field theory, as in the Magnus expansion in perturbation theory, and in lattice gauge theory. Throughout, the notations exp(X) and eX will be used interchangeably to denote the exponential given an argument, except when, where as noted, the notations have dedicated distinct meanings. The calculus-style notation is preferred here for better readability in equations. On the other hand, the exp-style is sometimes more convenient for inline equations, and is necessary on the rare occasions when there is a real distinction to be made. (en)
- En la teoría de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia del álgebra de Lie g de un grupo de Lie G sobre G. En el caso de que G sea un grupo de Lie matricial, la aplicación exponencial se reduce a la matriz exponencial. La aplicación exponencial, denotada exp:g → G, es analítica y tiene como derivada ddtexp(X(t)):Tg → TG, donde X(t) es una C1 en el álgebra de Lie, y un diferencial estrechamente relacionado dexp:Tg → TG. La fórmula para obtener dexp fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891). Más tarde fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie. También se conoce a veces como la fórmula de Duhamel. La fórmula es importante tanto en matemática pura como aplicada. Entra en pruebas de teoremas como la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, y se usa con frecuencia en física, tanto en la teoría de campos cuánticos, como en la en la teoría de perturbaciones y en la . En todo momento, las notaciones exp(X) y eX se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo exp es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real. (es)
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- In the theory of Lie groups, the exponential map is a map from the Lie algebra g of a Lie group G into G. In case G is a matrix Lie group, the exponential map reduces to the matrix exponential. The exponential map, denoted exp:g → G, is analytic and has as such a derivative d/dtexp(X(t)):Tg → TG, where X(t) is a C1 path in the Lie algebra, and a closely related differential dexp:Tg → TG. (en)
- En la teoría de los grupos de Lie, la aplicación exponencial es una correspondencia del álgebra de Lie g de un grupo de Lie G sobre G. En el caso de que G sea un grupo de Lie matricial, la aplicación exponencial se reduce a la matriz exponencial. La aplicación exponencial, denotada exp:g → G, es analítica y tiene como derivada ddtexp(X(t)):Tg → TG, donde X(t) es una C1 en el álgebra de Lie, y un diferencial estrechamente relacionado dexp:Tg → TG. (es)
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