Klot

Klot

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln

$V={4\pi r^{3} \over 3}$

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Mantelytan är

$A={4\pi r^{2}}$

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},x\in [-r,r]$

Motsvarande rotationskropp har volymen

$\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx$

Termerna separeras

$\int _{-r}^{r}\pi r^{2}dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}dx$

och de primitiva funktionerna blir

$\pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-\pi \left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}$

Insättning av r och −r ger

$\pi (r^{3}-(-r^{3}))-\pi \left({\frac {r^{3}}{3}}-\left(-{\frac {r^{3}}{3}}\right)\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Klot i analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leq r^{2}$

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.