마스터 정리

알고리즘 분석에서 The Master Method(마스터 방법, 만능 방법), Master Theorem(마스터 정리)는 재귀 관계식으로 표현한 알고리즘의 동작 시간을 점근적으로 계산하여 간단하게 계산하는 방법이다.

잘 알려진 알고리즘 교과서 Introduction to Algorithms의 4.3절과 4.4절, 4.5절에 설명되어 유명해졌으나, 이 방법이 모든 재귀 관계식을 풀 수 있는 건 아니다.

다음과 같은 관계식이 주어졌다고 하자.

$T(n)={\begin{cases}\Theta (1)&\mathrm {if} \quad n=1\\aT(n/b)+f(n)&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$

여기서 $\scriptstyle a\geq 1,b>1$이고 $f(n)$은 점근적으로 양수 함수값을 가지는 함수이다. 이때 다음과 같은 경우에 대해 점근적 수행 시간을 계산할 수 있다.

1. 만약 어떤 상수 $\scriptstyle \epsilon >0$에 대해 $\scriptstyle f(n)\in O\left(n^{\log _{b}a-\epsilon }\right)$이면, $\scriptstyle T(n)\in \Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$이다.
2. 만약 $\scriptstyle f(n)\in \Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$이면, $\scriptstyle T(n)\in \Theta \left(n^{\log _{b}a}\log {n}\right)$이다.
3. 만약 어떤 상수 $\scriptstyle \epsilon >0$에 대해 $\scriptstyle f(n)\in \Omega \left(n^{\log _{b}a+\epsilon }\right)$이고, $c<1$과 충분히 큰 $n$에 대해 $\scriptstyle af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)$이 성립하면, $\scriptstyle T(n)\in \Theta (f(n))$이다.

외부 링크

• (영어) 알고리즘 소개