Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos $P$ es el conjunto de los números no primos $C$ , que está formado por los números compuestos y el 1:

El complementario de un conjunto $A$ es otro conjunto $A$ que contiene todos los elementos (dentro del universo $U$ ) que no están en $A$ .

\mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}

C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}

A su vez, el conjunto $P$ es el complementario de $C$ . El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice « $∁$ », por lo que se tiene: $P ∁ = C$ , y también $C = P$ .

El conjunto complementario de $A$ es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y $A$ , por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

Complementario de un conjunto

A

.

Dado un conjunto $A$ , su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a $A$ :

El complementario de $A$ es otro conjunto $A ∁$ cuyos elementos son todos aquellos que no están en $A$ :

$x\in A^{\complement }{\text{ si y s}}{\acute {\text{o}}}{\text{lo si }}x\notin A$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal $U$ , pues de otro modo, en la afirmación «todos los $x$ que no están en $A$ », la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal $U$ , entonces el complementario de $A$ es el conjunto de todos los elementos de $U$ que no están en $A$ , por lo que la relación con la diferencia es clara:

$A^{\complement }=U\setminus A$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }$

Ejemplo.

El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
Hablando de números naturales, el complementario del conjunto ${1, 5, 6, 7, 8, 10}$ es el conjunto ${2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}$ .
El complementario del conjunto $A$ en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal $U$ es toda el área del rectángulo).

Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

$U^{\complement }=\varnothing {\text{ , }}\varnothing ^{\complement }=U$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Propiedad involutiva. El complementario del complementario de $A$ es el propio $A$ :

$(A^{\complement })^{\complement }=A$

La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:

$A\cup A^{\complement }=U$

Un conjunto y su complementario son disjuntos:

$A\cap A^{\complement }=\varnothing$

El complementario de $A$ está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de $A$ :

$B\subseteq A\rightarrow A^{\complement }\subseteq B^{\complement }$

En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:

$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

Relación Complementaria

Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria ${\bar {R}}$ es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como

{\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.

Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.

Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica