엇각기둥

고른 엇각기둥의 집합

종류	고른 다면체
면	n각형 2개, 삼각형 2n개
모서리	4n
꼭짓점	2n
콘웨이 다면체 표기법	An
꼭짓점 배치	3.3.3.n
슐레플리 기호	s{2,2n} sr{2,n} { } ⊗ {n}
콕서터 다이어그램
대칭군	D_nd, [2⁺,2n], (2*n), 4n차
회전군	D_n, [2,n]⁺, (22n), 2n차
쌍대다면체	엇각쌍뿔
특성	볼록, 점추이 반정다면체
전개도

기하학에서, n각의 엇각기둥은 평행하고 동일한 n각형 두 개를 교대로 이루어진 삼각형의 띠로 연결된 다면체이다. 엇각기둥은 기둥다면체의 부분이고 (퇴화된 종류의) 다듬은 다면체이다.

엇각기둥은 밑면이 서로 꼬여있다는 것과 옆면이 사각형이 아니라 삼각형인 것을 제외하고는 각기둥과 동일하다.

정 n각형 밑면의 경우에는, 보통은 복사본이 180°/n도만큼 뒤틀린 경우로 생각한다. 추가 정규성은 밑면의 중심을 잇는 선이 밑면과 수직일 때 얻어지고, 그러면 이 각기둥은 직엇각기둥이 된다. 면에 대해서는, n각형의 밑면 2개와 그 둘을 연결하는 2n개의 이등변 삼각형이 있다.

고른 엇각기둥

고른 엇각기둥은 밑면을 제외하고 정삼각형 2n개를 면으로 가진다. 그룹에서는 고른 각기둥처럼 고른 엇각기둥은 무한한 점추이 고른 다면체의 급수를 만든다. n = 2일 때, 퇴화된 경우로 정사면체를 엇이각기둥으로 보고, n = 3일 때는 정상적인 정팔면체를 엇삼각기둥으로 본다.

엇각기둥의 쌍대다면체는 엇각쌍뿔이다. 이것의 존재성은 요하네스 케플러에 의해 토론되었으며 이름도 마찬가지로 케플러에 의해 지어졌고, 이전에 아르키메데스가 아르키메데스 다면체와 같은 꼭짓점 조건을 만족시키는 것으로 알려져있었을 가능성도 있다.

고른 엇각기둥족 n.3.3.3
다면체
타일링
배치	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...∞.3.3.3

슈미겔 다이어그램

A3	A4	A5	A6	A7	A8

직교 좌표

n각영 밑면과 이등변삼각형을 가지는 직엇각기둥의 꼭짓점의 직교 좌표는 다음과 같다:

\left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)

k는 0에서 2n − 1까지의 정수이다; 삼각형이 정삼각형일 경우에는 다음과 같다:

2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.

대칭

밑면이 정n각형이고 옆면이 이등변삼각형인 직 엇각기둥의 대칭군은 4n차 D_nd이나, 정사면체의 경우에는 D_2d의 세 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 대칭군 T_d을 가지고, 정팔면체는 D_3d의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 48차 대칭군 O_h을 가진다.

대칭군은 n이 홀수일 때만 점대칭을 포함한다.

회전군은 2n차 D_n이고, 정사면체의 경우는 D₂의 세 형태를 부분군으로 가지는더 큰 12차 회전군 T를 가지고, 정팔면체는 D₃의 네 형태를 부분군으로 가지는 더 큰 24차 회전군 O를 가진다.

별모양 엇각기둥

5/2-엇각기둥			5/3-엇각기둥
9/2-엇각기둥		9/4-엇각기둥		9/5-엇각기둥

별모양 고른 엇각기둥은 밑면인 별 다각형 {p/q}으로 이름이 결정되고, 순방향과 역방항(교차된) 솔루션이 나온다. 교차된 형태는 교차된 꼭짓점 도형을 가지고 p/q 대신에 역방향 분수 p/(p - q)를 사용한다. 예를 들면 5/2 대신에 5/3을 쓴다.

순방향이 아닌 역방향 형태에서는, 별모양 밑변에 접하는 삼각형은 회전 대칭축과 교차한다.

별 정다각형을 밑면으로 가지는 일부 역방항 별 엇각기둥은 모서리의 길이가 같아질 수 없어서, 고른 다면체가 될 수 없다. 별 엇각기둥 결합물은 p와 q를 공통으로 가지도록 만들 수 있다; 따라서 10/4 엇각기둥은 두 5/2 별 엇각기둥의 결합이다.

12까지의 대칭에 따른 고른 별모양 엇각기둥이다
대칭	별모양
d_5h [2,5] (*225)	3.3.3.5/2
d_5d [2⁺,5] (2*5)	3.3.3.5/3
d_7h [2,7] (*227)	3.3.3.7/2	3.3.3.7/4
d_7d [2⁺,7] (2*7)	3.3.3.7/3
d_8d [2⁺,8] (2*8)	3.3.3.8/3	3.3.3.8/5
d_9h [2,9] (*229)	3.3.3.9/2	3.3.3.9/4
d_9d [2⁺,9] (2*9)	3.3.3.9/5
d_10d [2⁺,10] (2*10)	3.3.3.10/3
d_11h [2,11] (*2.2.11)	3.3.3.11/2	3.3.3.11/4	3.3.3.11/6
d_11d [2⁺,11] (2*11)	3.3.3.11/3	3.3.3.11/5	3.3.3.11/7
d_12d [2⁺,12] (2*12)	3.3.3.12/5	3.3.3.12/7
...

각기둥
무한 엇각기둥
큰 엇각기둥 – 사차원 다포체
원 월드 트레이드 센터, 늘린 엇사각기둥의 형태를 가지는 건물이다^[1]

같이 보기

꼬인 다각형

참조

Anthony Pugh (1976). 《Polyhedra: A visual approach》. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

↑ Kabai, Sándor. “One World Trade Center Antiprism”. Wolfram Demonstrations Project. 2013년 10월 8일에 확인함.

외부 링크

위키미디어 공용에 관련된
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엇각기둥

Weisstein, Eric Wolfgang. “Antiprism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Olshevsky, George. “Antiprism”. 《Glossary for Hyperspace》. 2007년 2월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서.
- Olshevsky, George. “Prismatic polytopes”. 《Glossary for Hyperspace》. 2007년 2월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서.
Nonconvex Prisms and Antiprisms
Paper models of prisms and antiprisms

[Kabai2013-1] Kabai, Sándor. “One World Trade Center Antiprism”. Wolfram Demonstrations Project. 2013년 10월 8일에 확인함.

[1]

엇각기둥
				...
s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,2n}
깎은 엇각기둥
				...
ts{2,4}	ts{2,6}	ts{2,8}	ts{2,10}	ts{2,2n}
다듬은 엇각기둥
J₈₄	정이십면체	J₈₅	불규칙...
				...
ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}	ss{2,2n}