સંખ્યા સિદ્ધાંત

પૂર્ણાંકોનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસનો એક મહત્ત્વનો મુદ્દો છે. એને આ પ્રકારના ઉલમ સર્પાકાર વડે તાદૃશ કરી શકાય છે.

સંખ્યા સિદ્ધાંત (નંબર થિયરી) (અથવા અંકગણિત અથવા જુના શબ્દ પ્રમાણે ઉચ્ચ અંકગણિત) એ શુદ્ધ ગણિતની એક શાખા છે, જે મુખ્યત્વે પૂર્ણાંકો અને પૂર્ણાંક કિંમતવાળા વિધેયોના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે (1777– 1855) કહ્યું હતું, "ગણિત એ વિજ્ઞાનોની રાણી છે અને નંબર થિયરી એ ગણિતની રાણી છે." સંખ્યા સિદ્ધાંતવાદીઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો, પૂર્ણાંકોમાંથી બનેલી રચનાઓના ગુણધર્મો (જેમ કે, સંમેય સંખ્યાઓ) અથવા પૂર્ણાંકોના સામાન્યીકરણ તરીકે સમજી શકાય (જેમ કે, બૈજિક પૂર્ણાંકો ) એવી વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરે છે. સંખ્યા સિદ્ધાંત પૂર્ણાંકોની જટિલતા દેખીતી હોવા છતાં તેમના ગુણધર્મોને સમજવાનો પ્રયત્ન કરે છે.

પૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કાં તો સ્વયંભૂ રીતે અથવા સમીકરણોના ઉકેલો તરીકે ( ડાયફન્ટાઇન ભૂમિતિ) કરી શકાય છે. સંખ્યા સિદ્ધાંતના પ્રશ્નો મુખ્યત્વે વિશ્લેષણાત્મક વસ્તુઓ (ઉદાહરણ તરીકે, રિમેન ઝેટા ફંક્શન), જે પૂર્ણાંકો, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અથવા અન્ય સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક વસ્તુઓના ગુણધર્મોને કોઈ ખાસ પ્રકારે રજુ (એન્કોડ) કરે છે (વિશ્લેષણાત્મક નંબર થિયરી), તેના અભ્યાસ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે સમજી શકાય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંમેય સંખ્યાઓના સંબંધમાં પણ અભ્યાસ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંમેય વડે સન્નિક્ટન (ડાયફન્ટાઇન સન્નિક્ટન).

સંખ્યા સિદ્ધાંત માટેનો જૂનો શબ્દ અંકગણિત છે. વીસમી સદીની શરૂઆતમાં, તેના સ્થાને "સંખ્યા સિદ્ધાંત" શબ્દનો ઉપયોગ ચલણી બન્યો. ("અંકગણિત" શબ્દનો ઉપયોગ સામાન્ય લોકો દ્વારા "સાદી ગણતરીઓ" ના અર્થમાં થાય છે; તે ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં પિયાનો અંકગણિત અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ફ્લોટિંગ પોઇન્ટ અંકગણિત જેવા અન્ય અર્થ પણ ધરાવે છે.) સંખ્યા સિદ્ધાંત માટે અંકગણિત શબ્દનો ઉપયોગ, 20મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં, આંશિક રૂપે ફ્રેન્ચ અસરને લીધે, થોડા અંશે પાછો ફર્યો. ખાસ કરીને, સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિકને બદલે અંકગાણિતિક વિશેષણ તરીકે વધુ પસંદ કરવામાં આવે છે.